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Aggregation, Blowup, and Collapse: The ABC's of Taxis in Reinforced Random Walks

随机游动 有界函数 数学 统计物理学 耗散系统 平流 稳定性理论 纯数学 数学分析 应用数学 物理 非线性系统 统计 量子力学 热力学
作者
Hans G. Othmer,Angela Stevens
出处
期刊:Siam Journal on Applied Mathematics [Society for Industrial and Applied Mathematics]
卷期号:57 (4): 1044-1081 被引量:632
标识
DOI:10.1137/s0036139995288976
摘要

In many biological systems, movement of an organism occurs in response to a diffusible or otherwise transported signal, and in its simplest form this can be modeled by diffusion equations with advection terms of the form first derived by Patlak [Bull. of Math. Biophys., 15 (1953), pp. 311--338]. However, other systems are more accurately modeled by random walkers that deposit a nondiffusible signal that modifies the local environment for succeeding passages. In these systems, one example of which is the myxobacteria, the question arises as to whether aggregation is possible under suitable hypotheses on the transition rules and the production of a control species that modulates the transition rates. Davis [Probab. Theory Related Fields, 84 (1990), pp. 203--229] has studied this question for a certain class of random walks, and here we extend this analysis to the continuum limit of such walks. We first derive several general classes of partial differential equations that depend on how the movement rules are affected by the local modulator concentration. We then show that a variety of dynamics is possible, which we classify as aggregation, blowup, or collapse, depending on whether the dynamics admit stable bounded peaks, whether solutions blow up in finite time, or whether a suitable spatial norm of the density function is asymptotically less than its initial value.
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