Slow viscous motion of a sphere parallel to a plane wall—I Motion through a quiescent fluid

Asymptotic solutions of the Stokes equations are derived for both the translational and rotational motions of a sphere parallel to a plane wall bounding a semi-infinite, quiescent, viscous fluid in the limit where the gap width tends to zero. In a numerical sense these solutions are shown to agree asymptotically with the ‘exact’ bipolar co-ordinate solutions of O'Neill [1] and Dean and O'Neill [2] after correcting the numerical computations of the latter. The results are applied to the motion of a sphere ‘rolling’ down an inclined plane under the influence of gravity. It is demonstrated that the sphere cannot be in physical contact with the wall, and that it ‘slips’ as it rolls down the wall. Failure of the theory to agree with the experimental data of Carty [3] is tentatively attributed to cavitation. Les solutions asymptotiques des équations de Stokes sont dérivées à la fois pour les mouvements de translation et de rotation d'une sphère parallèle à la paroi plane délimitant un fluide visqueux, semi-infini, au repos, dans la limite où la largeur de l'interstice tend vers zéro. On démontre que, d'un point de vue numérique, des solutions s'accordent asymptotiquement avec les solutions ‘exactes’ de co-ordonnées bipolaires de O'Neill [1] et de Dean et O'Neill [2], rectification faite des calculs numériques de ces dernières. Les résultats sont appliqués au mouvement d'une sphère ‘roulant’ vers le bas d'une inclinaison plane sous l'influence de la gravité. Il est démontré que la sphère ne peut pas être physiquement en contact avec la paroi, et qu'elle ‘dérape’ à mesure qu'elle roule vers le bas de la paroi. On est tenté d'attribuer à la cavitation l'échec de l'accord de cette théorie avec les données expérimentales de Carty [3]. Asymptotische Lösungen der Stokes Gleichungen werden sowohl für die Translations als auch für die Rotationsbewegungen einer Kugel parallel zu einer ebenen Wand, die an einer halb unbegrenzten, ruhenden zähen Flüssigkeit angrenzt, in dem Bereiche, in dem sich die Abstandsweite der Grenze Null nähert, abgeleitet. Im numerischen Sinn erweist es sich, dass diese Lösungen asymptotisch mit den “präzisen” bipolaren, koordinierten Lösungen von O'Neill [1] und Dean und O'Neill [2] übereinstimmen, nachdem sie zahlenmässigen Berechnungen der letzteren berichtigt wurden. Die Resultate werden auf die Bewegung einer Kugel, die infolge ihrer Schwerkraft an einer schrägen Ebene herunterrollt, bezogen. Es wird bewiesen, dass die Kugel mit der Wand nicht in physischem Kontakt sein kann, und dass sie, indem sie von der Wand herabrollt, “rutscht”. Die Tatsache, dass diese Theorie mit den Versuchsergebnissen von Carty [3] nicht übereinstimmt, wird vorläufig der Kavitation zugeschrieben.