Analysis of the cup-cone fracture in a round tensile bar

Necking and failure in a round tensile test specimen is analysed numerically, based on a set of elastic-plastic constitutive relations that account for the nucleation and growth of micro-voids. Final material failure by coalescence of voids, at a value of the void volume fraction in accord with experimental and computational results, is incorporated in this constitutive model via the dependence of the yield condition on the void volume fraction. In the analyses the material has no voids initially; but high voidage develops in the centre of the neck where the hydrostatic tension peaks, leading to the formation of a macroscopic crack as the material stress carrying capacity vanishes. The numerically computed crack is approximately plane in the central part of the neck, but closer to the free surface the crack propagates on a zig-zag path, finally forming the cone of the cup-cone fracture. The onset of macroscopic fracture is found to be associated with a sharp “knee” on the load deformation curve, as is also observed experimentally, and at this point the reduction in cross-sectional area stops. Nous avons analysé numériquement la striction et la rupture d'un échantillon de traction cylindrique, à partir d'un ensemble de relations constitutives élastico-plastiques qui rendent compte de la germination et de la croissance des micro-cavités. Nous introduisons dans ce modèle constitutif la rupture finale du matériau par coalescence des cavités, pour une fraction volumique des cavités en accord avec les résultats expérimentaux et théoriques, par l'intermédiaire de la variation de la limite élastique en fonction de la fraction volumique des cavités. Dans nos analyses, le matériau ne présente initialement pas de cavités; mais une forte cavitation se produit au centre de la striction où la tension hydrostatique passe par un maximum, conduisant à la formation d'une fissure macroscopique lorsque la capacité du matériau à supporter une contrainte tend vers zéro. La fissure calculée numériquement est approximativement plane dans la partie centrale de la striction, mais au voisinage de la surface libre la fissure se propage en zig-zag, formant finalement le cone de la rupture en cône et cuvette. Le début de la rupture macroscopique est associé à un conde aigu sur la courbe charge-déformation, que l'on observe également expérimentalement; à ce moment là, la diminution de la surface de la section de Péprouvette s'arrête. Das Einschnür- und Bruchverhalten von runden Zugproben wird numerisch analysiert Die Rechnungen gehen aus von einem Satz elastisch-plastischer Grundgleichungen, die die Keimbildung und das Wachsen von Mikrohohlräumen berücksichtigen. Der Bruch durch das Zusammenwachsen der Hohlräume-wobei experimenteller und theoretischer Wert des Volumanteiles der Hohlräume übereinstimmenwird dadurch in dieses Modell eingeführt, daβ die Flieβbedingung von dem Volumanteil der Hohlräume abhingt. Bei der Analyse besitzt das Material anfangs keine Hohlräume. Im Zentrum der Einschnürung jedoch, wo die hydrostatische Zugkomponente ein Maximum aufweist, bilden sich viele Hohlräume. Das führt zu einem makroskopischen Riβ, wenn das Material die anglegte Spannung nicht mehr tragen kann. Der numerisch berechnete Riβ ist im Zentrum der Einschnürung nahezu eben. Näher an der Oberfläche jedoch verläuft er zickzack-förmig und bildet schlieβlich den Kegel der Bruchfläche. Der makroskopische Bruch hängt, wie auch experimentell beobachtet wird, mit dem Auftreten eines scharfen “Knies” in der Verformungskurve zusammen. Bei diesem Knie ist die Verringerung der Querschnittsfläche beendet.