Формула для энтропийных решений одномерной системы Эйлера-Пуассона без давления: корректность энтропийных решений и асимптотическое поведение

Рассматривается задача Коши для одномерной системы Эйлера-Пуассона без давления, которая описывает пылевые звезды с плотностью, представляющей собой конечную меру Радона. Для этой задачи Коши вводятся три обобщенных потенциала, с помощью которых устанавливается формула представления энтропийных решений. С помощью вариационного принципа и метода обобщенных характеристик доказывается единственность энтропийных решений. Кроме того, полученная формула применяется для анализа асимптотического поведения энтропийных решений: доказано, что для начальных данных $(\rho _0,u_0)$ с плотностью $\rho _0 ({\not \equiv 0})$, являющейся конечной мерой Радона, и ограниченной скоростью $u_0$ энтропийное решение всегда стремится к одиночной $\delta $-ударной волне, поскольку любые две $\delta $-ударные волны должны совпадать друг с другом вне конечного интервала времени. В частности, для начальной плотности с непустым компактным носителем энтропийное решение трансформируется в $\delta $-ударную волну за конечное время, после чего эта $\delta $-ударная волна распространяется линейно, несмотря на то, что характеристики в общем случае являются параболами.