The prediction of turbulent Prandtl and Schmidt numbers

This paper examines more than thirty ways of predicting the relationship between turbulent transfers of momentum and a passive contaminant such as heat or dissolved matter. The models are divided into seven classes, on the basis of method of derivation or field of application. Three classes comprise modifications of the simplest mixing-length model to allow for diffusion during the lateral motion of the fluid element which is conceived to carry the transferred entities. The other four classes are more heterogeneous: formal analyses based on Reynolds equations; results derived from various expressions for the eddy diffusivities; several kinds of model applicable to wall layers in particular; and purely empirical formulae representing limited data. An attempt has been made to assess the utility and potential for development of these models, both from the practical point of view, that of devising accurate heat- and mass-transfer formulae, and from the fundamental point of view, that of gaining an understanding of the actual transferring mechanisms. There is a plethora of formulae that can, with suitable choices of empirical constants, represent the gross features of experimental data. However, only the formal analyses account in a consistent way for the pressure interactions which influence momentum transfer. At present, formal results are available only for the degenerate case of weak, decaying turbulence, although they do prove useful in suggesting the limiting behaviour to be expected in more general flows. L'article étudie plus de trente façons de prévoir la relation entre les transferts turbulents de quantité de mouvement et d'un contaminant passif tel que la chaleur ou une substance dissoute. Les modèles sont répartis en sept classes suivant la méthode d'obtention et le champ d'application. Trois des classes comprennent des modifications du modèle le plus simple de longueur de mélange afin de tenir compte de la diffusion lors du mouvement latéral de l'élément fluide qui est sensé transporter les entités transférées. Les quatre autres classes sont plus hétérogènes: analyses formelles basées sur les équations de Reynolds; résultats déduits d'expressions variées des diffusivités turbulentes; plusieurs genres de modèles applicables en particulier aux écoulements pariétaux; et des formules purement empiriques représentant des données limitées. Une tentative a été faite afin d'évaluer l'utilité et les possibilités du développement de ces modèles, à la fois d'un point de vue pratique, celui d'imaginer des formules précises de transfert thermique et massique, et d'un point de vue fondamental, qui est de parvenir à la compréhension des mécanismes réels du transfert. Il y a une pléthore de formules qui peuvent, moyennant un choix convenable des constantes empiriques, représenter les caractères essentiels des données expérimentales. Cependant, seules les analyses formelles rendent compte de manière cohérente des interactions de pression qui influencent le transfert de quantité de mouvement. Actuellement, les résultats formels ne sont valables que dans le cas dégénéré d'une faible turbulence en décroissance, bien qu'ils s'avèrent effectivement utiles pour suggérer le comportement limite des écoulements plus généraux. Zur Berechnung der Beziehungen zwischen dem turbulenten Impuls-, Wärme- und Stoffaustausch werden in dieser Arbeit mehr als dreiβig Möglichkeiten angegeben. Je nach Art der Herleitung oder des Anwendungsbereichs werden die Modelle in sieben Klassen unterteilt. Das einfachste Mischungslängenmodell ist in drei Klassen enthalten; es berücksichtigt die Diffusion während der Querbewegung des Fluidelements. Die anderen vier Klassen sind unterschiedlicher: auf den Gleichungen von Reynolds basierende formale Berechnungen, Ergebnisse, die von verschiedenen Ausdrücken für die Diffusion in Wirbeln abgeleitet wurden, einige Modelle, die besonders auf Grenzschichten an Wänden anwendbar sind und nur in begrenzten Bereichen gültige empirische Formeln. Es wurde ein Versuch unternommen, die Nützlichkeit und Anwendungsmöglichkeikt dieser Modelle zu bewerten, zum einen vom praktischen Standpunkt aus, um genaue Wärme- und Stofftransportgleichungen zu erhalten und zum anderen vom grundsätzlichen Standpunkt aus, um den wirklichen Übertragungsmechanismus kennenzulernen. Durch passende Wahl von empirischen Konstanten ist es mit einer groβen Anzahl von Gleichungen möglich, die Haupteigenschaften von experimentellen Daten darzustellen. Nur die formalen Ansätze berücksichtigen in übereinstimmender Weise die Wechselwirkungen des Druckes, welche den Impulstransport beeinflussen. Gegenwärtig sind Ergebnisse nur verfügbar für den entarteten Fall der schwachen, abnehmenden Turbulenz; gleichwohl erweisen sich die Ergebnisse als hilfreich, um das Verhalten in allgemeineren Strömungen näherungsweise anzugeben. B cтaтьe aнaлизиpyютcя бoлee тpидцaти мeтoдoв pacчeтa зaвиcимocти мeждy тypбyлeнтным пepeнocoм импyльca и пepeнocoм пaccивнoй пpимecи типa тeмпepaтypы или кoнцeнтpaции вeщecтвa. Meтoды paздeлeны нa ceмь клaccoв в зaвиcимocти oт cпocoбa пoлyчeния кoэффициeнтoв пepeнoca oблacти пpимeнeния peзyльтaтoв pacчeтa. Tpи клacca coдepжaт мoдификaции caмoй пpocтoй мoдeли длины пyти cмeшeния для yчeтa пpoцecca тypбyлeнтнoй диффyзии пpи пoпepeчнoм движeнии элeмeнтa жидкocти, являющeгocя нocитeлeм тpaнcпopтaбeльнoй cyбcтaнции. Ocтaльныe чeтыpe клacca являютcя бoлee paзнopoдными: oни включaют иccлeдoвaния, бaзиpyющиecя нa фopмaльнoм aнaлизe пepeнoca нa ocнoвaнии ypaвнeний Peйнoльдca, пpимeнeнии paзличныч выpaжeний для тypбyлeнтнoй тeмпepaтypoпpoвoднocти, иcпoльзoвaнии paзличныч мoдeлeй ⪡зaкoнoв⪢ в пpиcтeннoй oблacти, a тaкжe пpимeнeнии чиcтo эмпиpичecкич фopмyл, oбoбщaющич oгpaничeнныe экcпepимeнтaльныe дaнныe. Cдeлaнa пoпыткa oцeнить нeoбчoдимocть пepcпeктивнocти дaльнeйшeй paзpaбoтки этич мoдeлeй кaк в пpaктичecкич цeляч, нaпpимep для paзpaбoтки нeкoтopыч aдeквaтныч cooтнoшeний тeopии тeплo- и мaccooбмeнa, тaк и фyндaмeнтaльныч, нaпpимep для выяcнeния мeчaнизмoв пepeнoca. Имeeтcя мнoжecтвo фopмyл, c пoмoщью кoтopыч, пpи cooтвeтcтвyющeм пoдбope эмпиpичecкич кoнcтaнт, мoжнo пpиближeннo oпиcывaть экcпepимeнтaльныe дaнныe. Oднaкo, тoлькo фopмaльный кaчecтвeнный aнaлиз пoзвoляeт yчecть взaимoдeйcтвиe пoля дaвлeния и cкopocти, влияющee нa пepeнoc импyльca. B нacтoящee вpeмя имeeтcя aнaлиз пpoцeccoв пepeнoca тoлькo для cлyчaя cлaбoй выpoждaющeйcя тypбyлeнтнocти, чoтя oн имeeт oтнoшeниe cкopee к пpeдeльнoмy cлyчaю cyщecтвoвaния тypбyлeнтнocти вooбщe, чeм к peaльным тypбyлeнтным пoтoкaм.