Hausdorff dimension of a random invariant set

The notion of random attractor for a dissipative stochastic dynamical system has recently been introduced. It generalizes the concept of global attractor in the deterministic theory. It has been shown that many stochastic dynamical systems associated to a dissipative partial differential equation perturbed by noise do possess a random attractor. In this paper, we prove that, as in the case of the deterministic attractor, the Hausdorff dimension of the random attractor can be estimated by using global Lyapunov exponents. The result is obtained under very natural assumptions. As an application, we consider a stochastic reaction-diffusion equation and show that its random attractor has finite Hausdorff dimension. La notion d'attracteur global dans la théorie des systèmes dynamiques déterministes a récemment été généralisée au cas d'un système stochastique. Des travaux précédents ont montré que de nombreuses équations aux dérivées partielles stochastiques définissent un système dynamique qui possède un attracteur stochastique. Dans ce travail, nous montrons qu'il est possible d'estimer la dimension de Hausdorff d'un attracteur stochastique sous des hypothèses très voisines de celles de la théorie déterministe et basées sur des exposants de Lyapunov globaux. Nous considérons ensuite l'application de notre résultat à une équation de réaction-diffusion stochastique. Une fois construit le système dynamique associé, nous montrons qu'il possède un attracteur stochastique de dimension de Hausdorff finie et donnons une borne supérieure de cette dimension.