An analysis of nonuniform and localized deformation in ductile single crystals

The nonuniform and localized deformations of ductile single crystals subject to tensile loading are analyzed numerically. The crystal is modelled by a rate independent, elastic-plastic relation based on Schmid's law which precisely accounts for lattice rotations. Both self hardening and latent hardening of the slip systems are included in the model. The crystal geometry is idealized in terms of a planar double slip model. Initial imperfections are specified in the form of slight thickness inhomogeneities and the calculations follow the crystal deformation through diffuse necking and the formation of shear bands. The pattern of shear bands depends on the initial imperfection, but, independent of the particular small imperfection, the material planes of the bands are inclined at a characteristic angle to the slip planes. Also, the lattice misorientation across the shear band, which is such as to cause geometrical softening of the bands, is not sensitive to the imperfection form. For high strength, low hardening crystals a comparison with existing experimental data shows remarkably good qualitative and quantitative agreement between the calculations and observations. We also model a relatively soft high hardening crystal which undergoes more diffuse necking than the strong high hardening crystal. Diffuse necking leads to lattice rotations which produce geometrical softening and hence promote shear band formation. Furthermore, we carry out a calculation for a high strength low hardening crystal with the latent hardening rate prescribed somewhat larger than for isotropic hardening. In this case a ‘patchy’ pattern of slip emerges. However, the course of shear band development is unaffected. Nous avons analysé numériquement les déformations localisées et non uniformes de monocristaux ductiles au cours d'un essai de traction. Le modèle choisi pour le cristal est une relation élastique-plastique indépendante de la vitesse qui repose sur la loi de Schmid et qui rend compte avec précision des rotations du réseau. Dans ce modèle, sont inclus l'auto durcissement et le durcissement latent des systèmes de glissement. La géométrie du cristal est schématisée à partir d'un modèle de double glissement plan. Les imperfections initiales sont introduites sous la forme de légères variations d'épaisseur et les calculs permettent de suivre la déformation du cristal par striction diffuse et par formation de bandes de cisaillement. L'allure des bandes de cisaillement dépend des imperfections initiales, mais, quelles que soient ces soient ces dernières, les plans des bandes sont inclinés par rapport aux plans de glissement et forment avec ceux-ci un angle caractéristique. La désorientation du réseau à la traversée de la bande de cisaillement, qui peut causer un adoucissement géométrique des bandes, n'est pas non plus sensible à la forme des imperfections. Dans le cas des cristaux à forte résistance et à faible durcissement, une comparaison avec les données expérimentales existantes met en évidence des accords qualitatif et quantitatif remarquablement bons entre les calculs et les observations. Nous avons également modélisé un cristal relativement mou à fort durcissement, présentant une striction plus diffuse que le cristal résistant à fort durcissement. Une striction diffuse produit des rotations de réseau qui provoquent un adoucissement géométrique et favorisent donc la formation de bandes de cisaillement. De plus, nous avons effectué les calculs pour un cristal à forte résistance et à faible durcissement, dont la vitesse de durcissement latent était choisie légèrement plus grande que pour le durcissement isotrope. Dans ce cas. le glissement conduisait à une morphologie en “patchwork”. Toutefois, le développement des bandes de cisaillement n'était pas affecté. Die ungleichmäβige und lokalisierte Verformung duktiler Einkristalle unter Zuglast wird numerisch analysiert. Der Kristall wird modelliert mit einer geschwindigkeitsunabhängigen elastisch-plastischen Beziehung auf der Grundlage des Schmidschen Schubspannungsgesetzes, welches Gitterrotationen exakt berücksichtigt. Im Modell sing sowohl Eigen- als auch latente Verfestigung der Gleitsysteme eingeschlossen. Die Kristallgeometrie wird in idealisierter Weise mit planarer Doppelgleitung beschrieben. Die Anfangsstörungen werden als kleine Dickeninhomogenitäten vorgegeben. Die Berechnungen verfolgen die Kristallverformung über diffuse Einschnürung und Ausbildung von Scherbändern. Das Erscheinungsbild der Scherbänder hängt ab von den Anfangsstörungen, die Bandebenen jedoch sind -unabhängig von dem einzelnen kleinen Fehler- unter einem charakteristischen Winkel zu den Gleitebenen geneigt. Die Gitterfehlorientierung im Band entspricht einer geometrischen Entfestigung dieser Bänder und hängt wenig von der Form der Fehler ab. Bei den hochfesten, sich wenig verfestigenden Kristallen zeigt ein Vergleich gute Übereinstimmung zwischen Rechnungen und Beobachtungen. Auβerdem wird ein relativ weicher, sich stark verfestigender Kristall modelliert, der eine stärkere Neigung zu diffuser Einschnürung als die hochfesten, sich stark verfestigenden Kristalle aufweist. Diffuse Einschnürung ergibt Gitterrotationen, die eine geometrische Entfestigung verursachen und dadurch die Scherbandbildung fördern. Darüberhinaus wurde da Verhalten eines hochfesten, sich wenig verfestigenden Kristalles berechnet, dessen latente Verfestigungsrate etwas gröβer als bei isotroper Verfestigung ist. In diesem Falle tritt ein ‘fleckiges’ Gleitungsmuster auf; der Entwicklungsverlauf der Scherbänder wird nicht beeinfluβt.