Anisotropic symmetrization

The partial anisotropic symmetrization is defined, extending Steiner symmetrization and convex symmetrization. Inequalities of the type of Hardy–Littlewood, Pólya–Szegő and Klimov are proved for this symmetrization, while it is shown that Riesz–Sobolev rearrangement inequalities are not valid. Applications are given to the proof of isoperimetric inequalities, integral inequalities and existence and symmetry of solutions of variational problems. Résumé Nous définissons la symétrisation anisotrope partielle, qui est à la fois une extension de la symétrisation de Steiner et de la symétrisation convexe. Nous prouvons des inégalités du type Hardy–Littlewood, Pólya–Szegő et Klimov pour cette symétrisation, alors qu'elle ne vérifie pas d'inégalité de réarrangement du type Riesz–Sobolev. Nous donnons des applications à la preuve d'inégalités isopérimétriques et intégrales ainsi qu'à celle de l'existence et de la symétrie de solutions de problèmes anisotropes.